Mächtigkeit

Kardinalität; Macht; Potenz

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Mạ̈ch|tig|keit 〈f. 20; unz.〉

1. mächtige Beschaffenheit

2. 〈Geol.〉 Dicke einer Erdschicht od. einer Lagerstätte, rechtwinkelig zu ihren Begrenzungsflächen gemessen

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Mạ̈ch|tig|keit, die; -, -en [mhd. mehticheit]:

1. <o. Pl.> das Mächtigsein, Reichtum an ↑ Macht (3), Einfluss.

2. <o. Pl.>

a)↑ mächtige (2 a) Beschaffenheit;

b) (landsch.)↑ mächtige (2 b) Beschaffenheit:

eine Torte von überwältigender M.

3. (Geol.) (von Schichten o. Ä.) Dicke.

4. (Math.) Größe, Beschaffenheit einer Menge in Bezug auf das (im Vergleich zu einer anderen Menge) mehr od. weniger zahlreiche Enthaltensein von Elementen:

die [unendliche] Menge C ist von geringerer, größerer M. als die Menge D.

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Mächtigkeit,

 

1) Geologie und Bergbau: die Dicke einer Gesteinsschicht oder Gesteinsfolge, eines vulkanischen Gesteinsganges oder auch einer Lagerstätte (Gang, Flöz, Lager); kürzeste Linie zwischen Hangendem und Liegendem, gemessen rechtwinklig zum Streichen und Einfallen.

 

 2) Mathematik: Kardinalzahl, Grundbegriff der Mengenlehre, der u. a. eine Verallgemeinerung des Anzahlbegriffs auf unendliche Mengen beinhaltet. Die Mächtigkeit einer Menge A wird meist mit |A| oder card (A) bezeichnet. Bei einer endlichen Menge ist die Mächtigkeit gleich der Anzahl ihrer Elemente, d. h. eine natürliche Zahl (finite Mächtigkeit). Die Mächtigkeit von unendlichen Mengen bezeichnet man häufig als transfinite Mächtigkeit (zu ihnen zählen ₁ und ₀, Aleph). Zwei Mengen A und B werden als gleichmächtig (äquivalent) bezeichnet (Schreibweise A ∼ B), wenn es eine bijektive Abbildung von A auf B gibt. A ist von höherer Mächtigkeit als B, wenn nur eine bijektive Abbildung von B auf eine Teilmenge A ' von A, nicht aber auf A selbst möglich ist. Beispiele: Die Mengen A = {1, 2, 3} und B = {a, b, c} sind gleichmächtig; beide besitzen die (finite) Mächtigkeit 3. Die Menge ℕ der natürlichen Zahlen, die Menge ℤ der ganzen Zahlen und die Menge ℚ der rationalen Zahlen sind ebenfalls gleichmächtig; deren (transfinite) Mächtigkeit ist ₀. Auch die Menge ℝ der reellen Zahlen und die Menge C der komplexen Zahlen sind gleichmächtig. Sie sind aber von höherer Mächtigkeit als ℕ, ℤ oder ℚ und besitzen die (transfinite) Mächtigkeit ₁ (der Beweis hierfür ist mithilfe des Diagonalverfahrens möglich). Kontinuumshypothese.

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Mạ̈ch|tig|keit, die; -, -en [mhd. mehticheit]: 1. <o. Pl.> das Mächtigsein, Reichtum an ↑Macht (3), Einfluss. 2. <o. Pl.> mächtige (2 a) Beschaffenheit. 3. (bes. Bergmannsspr.) (von Schichten o. Ä.) Dicke. 4. (Math.) Größe, Beschaffenheit einer Menge in Bezug auf das (im Vergleich zu einer anderen Menge) mehr od. weniger zahlreiche Enthaltensein von Elementen: die [unendliche] Menge C ist von geringerer, größerer M. als die Menge D.